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一、函数与极限
1、集合的概念
一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母a、b、c、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合a中的元素,就说a属于a,记作:a∈a,否则就说a不属于a,记作:aa。
1、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作n
2、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作n或n。
3、全体整数组成的集合叫做整数集。记作z。
4、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作q。
5、全体实数组成的集合叫做实数集。记作r。
集合的表示方法
2、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合
2、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系
1、子集:一般地,对于两个集合a、b,如果集合a中的任意一个元素都是集合b的元素,我们就说a、b有包含关系,称集合a为集合b的子集,记作ab(或ba)。。
2相等:如何集合a是集合b的子集,且集合b是集合a的子集,此时集合a中的元素与集合b中的元素完全一样,因此集合a与集合b相等,记作a=b。
3、真子集:如何集合a是集合b的子集,但存在一个元素属于b但不属于a,我们称集合a是集合b的真子集。
4、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。
5、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:
1、任何一个集合是它本身的子集。即aa
2、对于集合a、b、c,如果a是b的子集,b是c的子集,则a是c的子集。
3、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算
1、并集:一般地,由所有属于集合a或属于集合b的元素组成的集合称为a与b的并集。记作aub。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。)
即aub={x|x∈a,或x∈b}。
2、交集:一般地,由所有属于集合a且属于集合b的元素组成的集合称为a与b的交集。记作anb。
即anb={x|x∈a,且x∈b}。
3、补集:
1全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作u。
2补集:对于一个集合a,由全集u中不属于集合a的所有元素组成的集合称为集合a相对于全集u的补集。简称为集合a的补集,记作cua。
即cua={x|x∈u,且xa}。
集合中元素的个数
1、有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。
2、用card来表示有限集中元素的个数。例如a={a,b,c},则card(a)=3。
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