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第30章 你是要求签名吗（第1页）

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微积分的基本公式共有四大公式:1.牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本公式2.格林公式，把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分3.高斯公式，把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式，与旋度有关。这四大公式构成了经典微积分学教程的骨干。

牛顿-莱布尼茨公式

基本简介：若函数f（x）在[a，b]上连续，且存在原函数f（x），则f（x）在[a，b]上可积，且莱布尼茨公式，这即为牛顿-莱布尼茨公式。理解:比如路程公式:距离s=速度v*时间t，即s=v*t，那么如果t是从时间a开始计算到时间b为止，t=b-a，而如果v不能在这个时间段内保持均速，那么上面的这个公式（s=v*t，t=b-a）就不能和谐的得到正确结果，于是引出了定积分的概念。

公式应用：那么如何在用积分得到上述路程公式呢

公式这个公式能表明路程s是每个不同速度时候行驶的时间和当前速度乘积的和。牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程:对函数f（x）于区间[a，b]上的定积分表达为:

b∫a*f（x）dx

现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数:

Φ（x）=x∫a*f（x）dx

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了:

Φ（x）=x∫a*f（t）dt

研究这个函数Φ（x）的性质:1、定义函数Φ（x）=x（上限）∫a（下限）f（t）dt，则Φ与格林公式和高斯公式的联系

（x）=f（x）。

证明:让函数Φ（x）获得增量Δx，则对应的函数增量

ΔΦ=Φ（xΔx）-Φ（x）=xΔx（上限）∫a（下限）f（t）dt-x（上限）∫a（下限）f（t）dt

显然，xΔx（上限）∫a（下限）f（t）dt-x（上限）∫a（下限）f（t）dt=xΔx（上限）∫x（下限）f（t）dt

而ΔΦ=xΔx（上限）∫x（下限）f（t）dt=f（ξ）Δx（ξ在x与xΔx之间，可由定积分中的中值定理推得，当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f（ξ）趋向于f（x），故有limΔx→0ΔΦΔx=f（x）

可见这也是导数的定义，所以最后得出Φ（x）=f（x）。

2、b（上限）∫a（下限）f（x）dx=f（b）-f（a），f（x）是f（x）的原函数。

证明:我们已证得Φ（x）=f（x），故Φ（x）c=f（x）

但Φ（a）=0（积分区间变为[a，a]，故面积为0），所以f（a）=c

于是有Φ（x）f（a）=f（x），当x=b时，Φ（b）=f（b）-f（a），

而Φ（b）=b（上限）∫a（下限）f（t）dt，所以b（上限）∫a（下限）f（t）dt=f（b）-f（a）

把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

高阶导数莱布尼兹公式

（uv）^（n）=∑（n，k=0）c（k，n）*u^（n-k）*v^（k）

注:c（k，n）=n!（k!（n-k）!）^代表后面括号及其中内容为上标，求xx阶导数

格林公式

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