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第321章（第2页）

尘埃粒子内的第一个尘埃粒子，以初始尘埃粒子为基础，缔造出了第一根弦，如此绝对无穷的弦被缔造之后，就以它为基础，第二个尘埃粒子中的第一根弦…第三个尘埃粒子中的第一根弦……

如此反复，代表初始的尘埃粒子依然是绝对无限渺小的，它想向着绝对无限大冲去，如此就诞生了外部第二个初始尘埃粒子，以这个尘埃粒子的所有为基础，继续搭建，绝对无穷个初始尘埃粒子被缔造，就是绝对无穷渺小，将它视做第一轮，如此绝对无穷轮，便形成了一个世界。

世界继续化初始之弦，二次轮回为一阶一级世界，继续轮回为一阶二级世界，如此达到无限阶无限级世界……恒无止境。

“这个宇宙很强大，但为何我的心中毫无波动，是成了化神真君的缘故吗”墨尘呢喃，这只是一个念头而已，没有用一丝力量，但这…似乎不是极限。

诸世间就好像是个画卷，化神真君高了画卷一些，因此可以描绘画卷中的一切，无论再强对于化神真君来说都没有消耗。

“继续吧……”

墨尘还想试试，于是操控这世界诞生了众生，众生拥有思维，宇宙采集着这些思维，居然先延伸出了一个强大无比的数学宇宙，包含着整个数学的体系。

这个宇宙诞生以后，他脑海中也闪过一个词，一阶，诸天一阶，这似乎是诸天一阶的某个阶段，若是将诸天一阶比作一条浩瀚无限的路，那么这所谓的数学宇宙，就连起点也没走出去。

就连化神真君，也只是属于一阶之中中规中矩的存在。

cK序数、阿列夫数、世界基数、不可数基数、不可达基数、马洛基数、不可描述基数……

cK序数：第一个不可计算序数是w_1^ck，这是所有递归序数的集合，而ck是邱奇克林的缩写，而第二个不可计算序数为w_2^ck，这是第一个不可计算序数w_1^ck放入任何递归运算的集合总和，这里的运算可以有很多，如后继，加法，乘法，乘方，中函数，序数坍缩函数.…...，而我们还有第三个不可计算序数w_3^ck，第四个不可计算序数w_4^ck，第五个不可计算序数w_5^ck.....以此类推，不可计算序数可以任意的多，不过任意w_a^ck也都小于阿列夫一，而我们还有着对不可计算序数的拓展，也就是Фck，假如说有一个不可计算序数w_1^ck，用Фck可以表示为Ф（1）^ck，w_2^ck可以表示为Ф（2）^ck，w_3^ck可以表示为Ф（3）^ck.....以此类推，运算规则都一样，而Ф（1）^ck、Ф（2）^ck、Ф（3）^ck.....用二元ck函数可以表示为Ф（0，1）^ck，Ф（0，2）^ck，Ф（0，3）^ck....以此类推。

阿列夫数：从阿列夫数开始，我们就进入了无穷大的概念。通过不断地构造一个集合，或者说一个集合拥有无穷多个元素，比如{0，1，2……}，那么它的势（即它元素的个数），就是阿列夫零，阿列夫零可以被理解为最小的无穷基数。既然有阿列夫零，那肯定还会有阿列夫一、阿列夫二……的确，阿列夫一就是大于阿列夫零的下一个最小的无穷基数，阿列夫二就是大于阿列夫一的下一个最小的无穷基数……以此类推。不断地向下迭代，阿列夫阿列夫阿列夫……一直到阿列夫但是已经到达了无穷大的概念，单纯的数学运算已经不能将这些无穷大增强了。就好像w+1、w+w……这些运算是无法到达阿列夫一的。因为你会发现，即使在无穷大的基础上，增加它的序数，是无法使得它的基数变大的，这两个数都是同样的无穷大，它们的元素依然可以一一对应。所以，需要一些公理或者一些定理、假设来证明更大的阿列夫一。连续统假设则认为2的阿列夫零次方等于阿列夫一，因为2的阿列夫零次方是对阿列夫零取幂集，一个集合的幂集的势，一般都比这个集合本身的元素个数多（空集除外）。（正数、负数、有理数、分数、偶数、奇数等集合的势是阿列夫零，实数集的势是阿列夫一，因为实数集当中包含了无理数，无理数是有理数无法通过加减乘除一个不是无理数的数得到不动点。）

世界基数：如果一个k满足Vk是ZFc的一个模型，那么k是一个世界基数。

不可数基数：（比不可达基数小），不可数基数是一种无穷基数。不可数集的基数统称为不可数基数。一个无穷集合，如果不与自然数集等势，它就具有不可数基数。例如实数集R的基数、R的幂集p（R）的基数都是不可数基数。不可数基数有无穷多个等级。

不可达基数：不可达基数就是指不可数正规的强极限基数，如果是不可数正规的极限基数，则称之为弱不可达基数。可数就是指小于等于阿列夫零的基数。反之不可数就是指大于阿列夫零的基数。后继，就是指比它小的基数中有最大值，极限就是指比它小的基数中没有最大值，强极限就是比它小的任意基数中，2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身，也就是若k是正则基数，则不存在小于k个小于k的集组之并的基数为k，或者说不存在小于k个严格递增的序列，其极限为k。奇异就是到达它的最短长度小于本身。对于基数k，存在小于k的严格递增的序列的极限为k，则k为奇异基数。正规和奇异基数引入了共尾度的概念，共尾度就是到达它的最短长度。后继序数的共尾度是1。正则基数就是cf（k）=k，奇异基数就是cf（k）＜k。

不可达基数k就是对任意小于k的基数，取幂集的基数仍然小于k并且由任意小于k个小于k的集组之并的基数仍然小于k。而对比弱不可达基数只要满足＜k的任意基数的后继仍然＜k就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。

马洛基数：又称马赫罗基数，对于所有K，正则基数β的初始段（即β以下的所有基数）中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。也就是一个马洛基数k之下的不可达基数组成驻集，小于k的所有正则基数集合是k的驻子集，则k为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集取驻集族为{a{0，1}都存在一个k个元素的子集使f在这个集上的值相同。也是，最小不可达基数k，需要满足cfk=k，a＜k→2^a＜k的基数，一个2-不可达基数k是第k个不可达基数，一个超不可达基数就是k-不可达基数，每一个马洛基数k之下的不可达基数组成驻集，小于k的所有正则基数集合是k的驻子集，则k为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集，则此k为马洛基数，第马洛基数个不可达基数一定是马洛基数。然后是2-马洛基数，下面的马洛基数形成驻集，超马洛基数，k是k-马洛基数。

不可描述基数：基数K称为nn不可描述基数如果对于每个nm命题（φ，并且设置A?vk与（Vk+n，∈，A）╞φ存在一个a＜k与（Va+n，∈，AnVa）╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。nn不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1阶逻辑的任何公式将k与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。如果基数k是nnm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。也是，这里不可描述基数是指一类大基数，指用nnm或者是∑nm公式的概念和模型论工具所定义的基数，若对任何仅含一个二阶自由变元x的nnm公式或∑nm公式Φ（x），当有a层结构〈Va，∈?Va，R〉满足Φ（R）时，即〈Va，∈?Va，R〉?Φ（R）成立时，存在β＜a，使β层子结构也满足Φ（R），即〈Vβ，∈?Vβ，RnVβ〉?Φ（RnVβ），则称基数a为nmn或∑mn不可描述基数，注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vβ中的相对化公式来代替，此处的不可描述性，就是指，在a层结构中真的公式，必可在a之前的某β层中为真，公式加以适当的限制，这种不可描述基数必然是很大的一类大基数，k是强不可达基数，当且仅当k是n10不可描述基数，又当且仅当k是∑11不可描述基数，k是弱紧基数，当且仅当k是n11不可描述基数，若k是可测基数，则k是n21不可描述基数。

可迭代基数：将基数k定义为可迭代的，前提是k的每个子集都包含在弱k-模型m中，其中在k上存在一个m-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数k被定义为a-iterable如果仅需要长度为a的超幂迭代才能有充分根

拉姆齐基数：让[k]＜w表示k的所有有限子集的集合。如果对于每个函数，基数k称为Ramsey

f:[k]＜w→{0，1}

存在基数为k的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为k的固定子集，则基数k被称为不可言说的Ramsey。如果对于每个函数，基数k实际上被称为Ramsey

f:[k]＜w→{0，1}

存在c，它是k的一个闭无界子集，因此对于c中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与f齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamostRamsey的概念，其中对于每个λ＜k，需要有序类型λ的f的同质集。

将基数k定义为可迭代的，前提是k的每个子集都包含在弱k-模型m中，其中在k上存在一个m-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。

Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数k被定义为a-iterable如果仅需要长度为a的超幂迭代才能有充分根据。

也就是，拉姆齐基数定理确立了w具有R基数推广到不可数情况的特定性质，令让[k]＜w表示k的所有有限子集的集合，一个不可数的基数k称为R如果，对于每个函数f:[k]＜w→{0，1}，有一个基数k的集合A对于f是齐次的，也就是说，对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数，如果A可以选择为k的平稳子集，则基数k被称为不可称的R，如果对于每个函数，基数k实际上称为Rf:[k]＜w→{0，1}，有c是k的一个封闭且无界的子集，因此对于c中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎R的概念，其中对于每个λ＜k，f的齐次集都需要阶类型λ，这些R基数中的任何一个的存在都足以证明0#的存在，或者实际上每个秩小于k的集合都有一个尖，每个可测基数都是R大基数，每个R大基数都是R大基数，介于R和可测性之间的强度中间属性是k上存在k完全正态非主理想I使得对于每个A?I和对于每个函数，f:[k]＜w→{0，1}，有一个集合b?A不在I中，对于f是齐次的，R基数的存在意味着0#的存在，这反过来又意味着Kurt的可构公理的错误。

强拉姆齐基数：一个为k的强拉姆齐基数，而且仅当对于每一个A?k位于一个存在k上的弱自可的k-模型m，k-模型m可数完备，〈m，U〉满足k-完备，它必然是正确的，因为m在长度小于k的序列下是封闭的。强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同，强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。

弱紧致基数：（位于马洛基数后）

k是弱紧致基数是指不可数且满足k→（k）。

所谓k是弱紧致基数，是指在不可数且Lk，k-句的集合中至多只使用了k个非逻辑符号的情况下，如果k-能够满足则能够满足。（弱紧致性）记载了两个弱紧致基数的定义。

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